Sumele lui Gauss – formule

mai 24, 2014 123edu.ro

Sumele lui Gauss – formule

Si Gauss asta nu a avut altceva de facut decat sa stea sa calculeze niste sume. La ce ne-or folosi?
Mda, cica sa calculam mai repede niste sume cu foarte multi termeni.

Inca de mic s-a remarcat ca un geniu al matematicii si mai apoi al fizicii. A fost remarcat de profesori inca din ciclul primar. Pe langa sumele care ii poarta numele el a mai descoperit cum sa construiesti un poligon cu 17 laturi folosind doar rigla si compasul, legea numerelor prime si altele.

Pentru a le fi cat mai usor copiilor am strans la un loc toate formulele lui Gauss care pe la clasa 4 ne dau batai de cap:

 

  • Formula lui Gauss pentru suma de numere consecutive (valabila doar pentru sume care incep cu 1):

1 + 2 + 3 + 4 + … + n = n x ( n + 1 ) : 2

  • Formula lui Gauss pentru sume de numere impare (suma incepe cu numarul 1)

1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2n – 1 ) = n x n

Daca sunt exercitii de forma:

2 + 4 + 6 + 8 + … + 100 – se da factor comun 2 si se aplica prima formula

sau

3 + 6 + 9 + 12 + … + 2010 – se da factor comun 3 si se aplica prima formula

Chiar daca par greu de digerat aceste sume vor fi aplicate mai mult la clasa 5 adaugandu-se si suma lui Gauss pentru puteri, dar aceea o putem discuta la clasa 5.

La nivelul clasei 4 copiii invata mai mult mecanic aceste formule dar le vor intelege mai usor in clasele gimnaziale.

Exercitii cu sumele lui Gauss pentru clasa 4 intalniti si pe 123edu.ro la capitolul Adunare.

Exercitii cu sumele lui Gauss pe 123edu.ro

52 de răspunsuri la “Sumele lui Gauss – formule”

  1. Oana Fîntînariu spune:

    Cum adică se dă factor comun 2?

  2. Marcu Gabriela spune:

    S= 2+5+8+…….+254. Cum calculăm suma aici? Avem nr pare si impare din 3 in 3

    • 123edu spune:

      Aici e vorba de o progresie aritmetica unde:
      a1 = 2; r = 3 (ratia r=a2-a1); an = 254. Din formula an = a1+(n-1)r il afli pe n care e numarul de termeni din suma: 254=2+(n-1)3 => 252=(n-1)3 => 252:3=n-1 => n=85
      Apoi aplici suma Sn=n(a1+an)/2 si inlocuiesti toti termenii si ai aflat suma. Acest exercitiu se rezolva in clasa a V-a sau a VI-a

  3. Hudisteanu Razvan spune:

    trebuie sa inveti suma lui Gauss bine ca sa o tii minte,deoarece sunt in clasa a 6-a si inca mai am dificultati cu aceasta suma. Offff…. Gauss asta, nu putea sa se faca scriitor?

  4. Andra spune:

    Si daca am -2-4-6-…-98-100?

    • 123edu spune:

      Cum faci sa transformi o scadere in suma? Ce poti sa dai factor comun sa nu mai ai scadere? In text ai exemplul cu 2+4+6+8+…. Gandeste-te cum poti ajunge la -2-4-6-8-…

    • Miruna Alexandroaie spune:

      …….. si calculezi

      • 123edu spune:

        Daca pe alte site-uri gasiti rezolvarea sa stiti ca nu va faceti niciun serviciu. Cel mai bun ajutor este sa oferi indrumari pentru a gandi. Tu stii cum se rezolva. Da-i si Andrei sansa sa ajunga si ea sa rezolve singura.

  5. David spune:

    2+4+6+……+200
    1+2+3+….+100

    • 123edu spune:

      Ai toate datele pentru a rezolva singur aceste exercitii. Este indicat sa gasesti tu raspunsul, nu sa astepti o rezolvare care vine de la altii. Hai ca poti si tu!

  6. Cata spune:

    Mai explicit . va rog

  7. Ramona Adam spune:

    Ce inseamna „n”

  8. Andreiutu spune:

    12+13+14+…………+46
    Puteti sa imi aratati si mie cum se face asta.
    Si daca stiti ce inseamna PPF?

  9. Stefan Drăgunea spune:

    Foarte folositoare aceste formule de calcul !

  10. sandor spune:

    In clasa a IV nu se invata cu formule. Se parcurg anumite etape : aflam cati termeni sunt , apoi aflam suma perechilor ( adica prima + ultima sau al doilea+penultimul , etc ). Si aici apar problemele pentru ca daca sirul are termeni pari e ok , dar daca are termeni impari atunci dupa formarea perechilor mai ramane un termen ( cel din mijlocul sirului) care este jumatate din suma perechilor. Si ca sa se afle suma totala mai trebuie adaugat acest termen din mijloc…Copiii se incurca , parintii la fel. Daca s-ar calcula cu formule ar fi usor….dar din pacate se intampla asa.
    luati un exemplu simplu : 2 + 5 + 8 + ….+ 20.
    Daca s-ar face in felul urmator , ar fi ok :
    1. cati termeni avem ? (20 – 2 ) : 3 + 1 = 7 termeni
    2. suma este : ( 20 + 2 ) x 7 : 2 = 77
    Dar daca se face asa :
    1. cati termeni avem ? (20 – 2 ) : 3 + 1 = 7 termeni
    2. cate perechi avem ? 7 : 2 = 3 perechi + 1 termen
    3. care este suma unei perechi ? 2 + 20 = 22
    4. cum calculam suma ? ( 3 perechi x 22 ) + 1 termen care e 22 : 2 = 11 si rezulta 66 + 11 = 77
    E mult mai complicat !

  11. 123edu spune:

    Nu se rezolva cu formulele lui Gauss. Este o progresie aritmetica. Probabil ca esti clasa a V-a. Citeste cu atentie manualul si ce a predat profesorul in clasa pana intelegi.

  12. Ana spune:

    -x+2x-3x+4x-…-49x+50x,asta cum se face?Știe cineva?

  13. Alexandru spune:

    123edu, buna seara, sunt parinte de baiat de clasa a V-a…. de unde sa incep sa rumeg teorema lui Gauss pentru a o explica clasei a V-a? pe internet gasesc o gramada de informatii neorganizate si mi-e un pic dificil sa o clasific eu, cred ca aveti o parere formata deja. Deci: o bibliografie sau de unde sa incep sau cu ce? Multumesc.

    • 123edu spune:

      Buna ziua!
      Pentru a intelege sumele lui Gauss la clasa a V-a va trebui sa inteleaga rostul acestor sume.
      Sunt cateva formule pe care fie va trebui sa le deduca (ceea ce e de dorit), fie sa le invete mecanic (nu e de dorit!).
      Sa incepem cu cele simple:

      S= 1+2+3+…+n (n reprezinta ultimul numar din suma, in cazul unei adunari consecutive este si numarul de elemente din suma)

      Luam sume cu mai putine elemente:

      S=1+2+3+4 = 10 si scriem

      S= 1+2+3+4
      S= 4+3+2+1
      ————–
      2S = 5+5+5+5 (am adunat cele doua sume) => 2S = 4×5 => S= 4×5:2 (unde 4 e numarul de termeni ai sumei (adica n), 5 este (n+1)) si suma devine
      S=nx(n+1):2

      Indiferent de suma care se cere se face in asa fel incat Suma sa devina o suma de numere consecutive incepand cu 1.

  14. Ana spune:

    Si daca nu începe cu 1 si începe cu 3 si continua cu 4 , 5.. Ce fac?

  15. Denisa spune:

    Dar la „a= 1+2+3+…+264+265×133” ce suma ar trebui aplicată sau cum ar trebui facut? Multumesc!

  16. Andreea spune:

    Cum se calculează 1 plus 2 plus 3plus …..plus 30

  17. sanda spune:

    5+10+15+…+135

  18. Thefox spune:

    Daca x=4+8+12+…+96
    Atunci 4:x=1+2+3+…+24?

  19. Bbb spune:

    1×2×3×……..×100

  20. Gratiela spune:

    Dar cum putem arata ca un numar(2006) se poate scrie ca suma Gauss?

  21. Elena spune:

    2+7+12+….+x=1550 chiar nu stiu cum se rezolva

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *